诡异的克莱因瓶:一个不封闭的瓶子万博客户端
作者: MBX 来源: 未知 发布时间:2018-08-11 12:01

  原标题:诡异的克莱因瓶:一个不封闭的瓶子 在数学领域中,克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面,比如二维平面,就没有内部和外部之分。 克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶在三维空间中 只能

  在数学领域中,克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面,比如二维平面,就没有“内部”和“外部”之分。

  克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶在三维空间中 只能做出“浸入”模型(允许与自身相交),它的结构非常简单,一个瓶子底部有一个洞,现在延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连 接。和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它也不类似于气球 ,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(所以说它没有内外部之分)。

  “克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的,因为最初用德语命名时候名字中“Kleinsche Flche”是“克莱因平面”的意思。大概是误写成了“Flasche”,这个词才是瓶子的意思。不过不要紧,“瓶子”这个词用起来也非常合适。

  1882年,著名数学家菲利克斯克莱因(Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的曲面,但是它却只有一个面。在图片上我们看到,克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没 有瓶底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话,我们就会得到一个轮胎面 (即环面)。

  在数学上,万博客户端,克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流形,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果观察克莱因瓶的图片,有一点似乎令人困惑克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的,换句话说,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。

  事实是:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自 己和自己相交一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。用扭结来打比方。如果把它看作平面上的曲线的话,那么它 似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条 曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者 断裂了的样子。克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面。

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