万博客户端高能烧脑:试着想象四维空间
作者: MBX 来源: 未知 发布时间:2018-08-10 05:40

  我们每个人都已经习惯了三维世界,所有的物体都有长、宽、高的基本属性,我们也很容易知道二维平面的图景,一幅画就是二维的,而一根线就是一维的。可是我们却怎么也想象不出来四维的物体长什么样,有什么特性。一个三维空间的正方体,我们很容易想象出它的样子,可是一个四维的正方体,我们称之为超正方体,或者一个超圆锥体、超圆柱体、超金字塔,你能想象出它们的样子吗?这似乎已经开始挑战我们的想象力极限了。

  咱们就以正方体为例,来想象一下超正方体的形象。在咱们开始之前,让我们先来研究一下维度之间的关系,每多一个维度意味着什么?会带来哪些变化?这将便于我们去想象维度的提升。

  让我们先从一维的世界开始。如果这个世界是一维的话,那么这个世界的生物都是一根线段,只有长度,没有高度和宽度。它们的头尾各有一个眼睛,它们可以在x轴方向左右移动,但是永远也无法超越前面的人,要与隔着的一个“人”打声招呼都是不可能的,更不要说与别的同伴见面,他们只能通过与其相邻的“人”传话过去。一维生物的交流就永远只能是报数,一个挨一个地报过去。

  这个一维世界是一个狭窄得让人窒息的世界,在这个世界中自然不可能有任何形状的概念,一切都是线段。那么如果突然有一天,一根一维的线段获得了朝另外一个维度,也就是y轴方向运动的能力,那么它的运动轨迹会变成什么呢?让我们来看下图:

  一维线条边,它在二维方向运动一段距离后,2个顶点就多了一倍,变成了4个。我们把2个顶点运动前后的位置用线连起来,于是我们看到轨迹就形成了一个正方形,这个正方形有4个顶点4条边。一旦从一维的世界拓展到了二维的世界,整个天地豁然开朗,世界从一根只有长度没有高度的“线”突然变成了一幅“画”。在这个二维世界中,“人”可以任意游走和穿行其间,可以跨过相邻的同伴直接与别的同伴见面。如果一维生物有感知的话,它们会被眼前的奇景所震撼,做梦也想不到居然可以有如此宽广的天地,天地开阔了岂止两倍,并且这个二维世界中的物体再也不是只有长度区别的一根线段了,他们可以拥有如此复杂多变的形状,形状之多简直就是无穷无尽的。一个一维诗人在看到了二维世界的奇观后,带着他奇特的口音由衷地吟出这样的“诗句”:嘛叫宽广,界(这)就叫宽广。然后,突然有一天,一个二维的正方形获得了在另外一个维度,也就是z轴运动的能力,那么它的运动轨迹又会变成什么样?我们来看下图:

  我们看到,一个二维的正方形在三维方向运动一段距离后,原来的4个顶点翻了一倍,在新的位置又形成了4个顶点。于是我们还是用老方法,把顶点在运动前后的位置连起来,于是形成了8个顶点和12条边(正方形本来有4条边,运动后在新位置又有4条边,然后定点连线条边)的一个正方体。这个世界从二维的“画”变成了三维的空间,天地开阔了岂止百倍。如果生活在“画”上的二维生物突然来到了这个三维世界,再回看自己曾经生活过的二维世界的话,你觉得它会怎么想。它必定会被眼前的景象惊呆:旧有的世界观一去不复返:原来我们以前那个世界是如此狭窄得令人窒息啊;原来我们认为的牢不可破的监狱根本无法关住犯人,一个犯人如果跟我现在一样能在第三维运动,只要轻轻一跨,就在看守们做梦也想不到的地方越狱了;原来我们以前那个二维世界的保险箱是如此的不保险,从我现在三维的角度看过去,一切都不再是保密的,保险箱内的东西全都一览无余,可以轻易取出来。眼前的这个三维世界实在宏大得不可思议,万物不仅仅只有形状,还有体积,无穷无尽的形体变化除了用“难以置信”去形容,实在找不出第二个恰当的词了。

  霍金在《果壳中的宇宙》一书中风趣地说二维生物和三维生物的区别在于,二维生物想要消化食物会非常困难,因为如果它们的嘴到肛门是被一根肠子联通的话,那么他们必然会被一分为二。其实别说肠子了,二维生物的血管会把它们分割成无数的小块,彼此不相连。

  如果,突然有一天,一个三维的正方体获得了朝第四个维度运动的能力,那么它的运动轨迹会形成一个什么样的形状呢?虽然我们暂时无法在头脑中想象出来,但是根据之前的维度增加的经验,我们至少可以推断出,这个四维的超正方体必然有16个顶点(原位置8个顶点,运动后在新位置产生8个顶点),然后有几条边呢?在原位置有12条边,新位置又有12条边,然后把8个新老顶点连接起来又产生8条边,因此,这个超正方体就会有32(12+12+8)条边。这样我们就得出结论:超正方体有16个顶点32条边。我们至少可以画出它在三维空间中的近似图,或者认为这是它在三维空间中的投影:

  看,这就是超正方体在三维空间的投影。哦,可能有些朋友对投影的概念不是很理解,那么我画一个正方体在二维平面的投影图出来,你马上就理解了,这也会帮助你想象超正方体的真正形态:

  从上面这幅图中,我们可以看到,物体的投影虽然并不是物体的真正形态,但是它能准确地体现出该物体的基本特征。请把两张图结合起来,然后,闭上眼睛,努力在脑中冥想一下,过一会儿告诉我你想到的四维超正方体的真正形态是什么样子的。

  过了一分钟,你睁开眼睛,然后茫然地告诉我:“大哥,很抱歉,还是没想出来!万博客户端,”

  嗯,不奇怪,我料到了,这玩意儿确实不是太容易想。还好我留了一招后手,让我来继续帮助你做这个思维体操。下面我们来看看,如果你把一个三维正方体在二维平面上展开,会得到一个什么样的形状呢?换句话说,其实就是把一个纸板箱展开全部平铺在地面上,会是一个什么样子呢?我们画出图来看一下:

  一个正方体总共有6个面,注意看正方体的二维投影也是6个面,这个基本特征是相当准确的。把6个面展开,就得到了上图所示的样子,其实就是一个纸盒子剪开压平的样子。那么,你能不能画出超正方体在三维空间展开后的样子呢?三维到二维展开的关键是研究总共有多少个“面”,那么将四维在三维展开的关键就是研究总共有多少个“体”,我们从超正方体在三维空间的投影可以数出来,总共是8个“体”,这个基本特征是准确无误的,所以,超正方体在三维空间展开后的应该是这样的:

  现在,我要你再次闭上眼睛,把超正方体在三维空间的投影和展开图都在脑子里面过一遍,然后努力想象一下超正方体的真正形态,你能想象得出来吗?

  这次过了整整五分钟,你睁开眼睛,还是一脸茫然地告诉我:“大哥,还是想象不出啊!”

  别难过,其实小编跟你一样,也想象不出来。这种状况,就跟三维世界中的我们去跟一个二维世界的人讲解什么是正方体一样。在二维世界中,只有正方形,没有正方体,你费尽口舌,举了无数例子,从三维正方体在二维上的投影讲到三维正方体在二维平面上的展开,然后再画出正方体在二维平面上的投影以及展开图,希望通过类比的方法让二维人想象出正方体的真正形态,口水都讲干了,可是,二维人仍然茫然地看着你,摇摇头说:“大哥,还是想象不出来。”其实,在对超正方体的想象力上,我们比那个可怜的二维人好不了多少。当一个二维人有一天终于能看到三维的世界后,他的震惊该是多么巨大,他除了不停地重复“难以置信”这个词以外,实在找不出其他恰当的形容词了。

  其实我们人人都生活在四维时空中,从理论上说,我们每时每刻都在时间这个第四维上运动。但问题是,时间这个维度是单方向的,因此我们无法回头看见过去的自己,从而也无法感受到四维空间之大。但是,难道就不能有第四个空间维度存在吗?时间可以看成是第五维,四维时空变成了五维时空。如果真有第四个真正可以正反两个方向运动的空间维度,那么我们三维人是真的有可能跨出我们这个世界的“画”,从第四个空间维度俯瞰我们这个世界,请想象一下我们将面对的将是怎样一番令人难以置信的奇景呢?

  其实小编对四维的理解也比较有限,如果你有兴趣想对四维空间有进一步的认识,可以去读读刘慈欣先生在他的《三体3·死神永生》中对四维空间的奇景有着惟妙惟肖的描述,其逼真感和现场感令人叹为观止。

  如果真有四个空间维度,那为什么不能有更多个维度呢?这个问题不止小编想过,按照目前最新的理论,我们这个宇宙在诞生的时候总共有十个维度,其中有九个空间维度,一个时间维度。经过百亿年的演化,现在六个空间维度已经蜷缩在了微观世界中。

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